级数求和

日前看网上有一个关于求所有自然数和的视频,很多网友表示不明觉厉,但也有很多人表示所有自然数求和就是扯淡。这其中的矛盾点就在这一概念上,更准确的讲,应该是级数求和。在代数学中,级数求和有很多种,下面就简单列举我所知道的一些。

传统求和(classical summation)

传统求和在高等数学中是第一个被学习也是用得最多的级数求和,多到什么程度呢?以至于广大学过高数的同学认为级数求和只有这一种。该求和存在于各大高数书籍中,在此就不赘述了。只提一句:柯西指出传统求和要求级数必须收敛。那么如果相求不收敛级数的和如何办呢?这就要用到以下的求和方法了——

切萨罗求和(Cesàro summation)

切萨罗求和通过求连续前n项和的代数平均数的极限来求和的,用公式表示如下:

要求数列$a_n$的和,可以先求出一系列前n项的部分和,即

$$
sn = \sum{i=1}^n a_i
$$
再记$t_n$为这些和的代数平均数,即
$$
t_n = \frac{s_1 + s_2 + \cdots + sn}{n} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n si
$$
如果
$$
s = \lim
{n\rightarrow +\infty} t_n
$$
那么这个s就是原数列$a_n$的切萨罗和。

切萨罗求和十分完美地解决了格兰迪级数(Grandi's series)的求和。格兰迪极数就是著名的$1+1-1+1-1+\cdots$。

阿贝尔求和(Abel summation)

阿贝尔为求级数$an$的和,先定义了一个函数
$$
f(x) = \sum
{n=0}^\infty an z^n,其中z=e^{-1}
$$
若该函数$\forall x>0$都收敛,则阿贝尔和可定义为
$$
s = \lim
{z\rightarrow 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n z^n
$$
阿贝尔求和比切萨罗求和可以应用到更多的发散级数。

拉马努金求和(Ramanujan summation)

拉马努金求和就是可以把全体自然数的和求出$-\frac{1}{12}$的很厉害的存在,但其过程十分麻烦。在此就不详细说明了,有兴趣的同学可以去维基百科-拉马努金求和页面自行查看学习。

其他一票求和方法

维基百科-发散级数页面有各种发散级数的求和方法,总有一款适合你!大家可以果断去围观一下。

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