日前看网上有一个关于求所有自然数和的视频，很多网友表示不明觉厉，但也有很多人表示所有自然数求和就是扯淡。这其中的矛盾点就在和这一概念上，更准确的讲，应该是级数求和。在代数学中，级数求和有很多种，下面就简单列举我所知道的一些。
传统求和(classical summation)
传统求和在高等数学中是第一个被学习也是用得最多的级数求和，多到什么程度呢？以至于广大学过高数的同学认为级数求和只有这一种。该求和存在于各大高数书籍中，在此就不赘述了。只提一句：柯西指出传统求和要求级数必须收敛。那么如果相求不收敛级数的和如何办呢？这就要用到以下的求和方法了——
切萨罗求和(Cesàro summation)
切萨罗求和通过求连续前n项和的代数平均数的极限来求和的，用公式表示如下：
要求数列$a_n$的和，可以先求出一系列前n项的部分和，即
$$
sn = \sum{i=1}^n a_i
$$
再记$t_n$为这些和的代数平均数，即
$$
t_n = \frac{s_1 + s_2 + \cdots + sn}{n} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n si
$$
如果
$$
s = \lim{n\rightarrow +\infty} t_n
$$
那么这个s就是原数列$a_n$的切萨罗和。
切萨罗求和十分完美地解决了格兰迪级数(Grandi's series)的求和。格兰迪极数就是著名的$1+1-1+1-1+\cdots$。
阿贝尔求和(Abel summation)
阿贝尔为求级数$an$的和，先定义了一个函数
$$
f(x) = \sum{n=0}^\infty an z^n，其中z=e^{-1}
$$
若该函数$\forall x>0$都收敛，则阿贝尔和可定义为
$$
s = \lim{z\rightarrow 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n z^n
$$
阿贝尔求和比切萨罗求和可以应用到更多的发散级数。
拉马努金求和(Ramanujan summation)
拉马努金求和就是可以把全体自然数的和求出$-\frac{1}{12}$的很厉害的存在，但其过程十分麻烦。在此就不详细说明了，有兴趣的同学可以去维基百科-拉马努金求和页面自行查看学习。
其他一票求和方法
维基百科-发散级数页面有各种发散级数的求和方法，总有一款适合你！大家可以果断去围观一下。